Konisk pendel

 

Några frågeställningar om pendelkulor som svänger i en konisk pendelrörelse.

 

Förstå problemet - ställa upp hypotes - testa själv eller se på filmerna - jämför med teori

 

1.     Kommer två pendelkulor med samma pendellängd och upphängningspunkt men med olika massa att ha samma utslagsvinkel?

 

I försöket används en plastkula (väger ca 50 gram) och en stålkula (ca 300 g)

 

 

Schematisk bild på två kulor med olika massa men med samma pendellängd

Hur hänger kulorna?

Förslag på resultat:
a) Kulorna hänger med samma vinkel
b) Den lättare kulan har större vinkel/roterar längre ut
c) Den tyngre kulan har större vinkel/roterar längre ut

 

Starta filmen så får du se hur det såg ut.

 

2. Lika stora massor men med olika pendellängd
Kulorna hålls så att de är lika långt från rotationscentrum

       

 

Schematisk bild på två kulor med loka stor massa men med olika pendellängd, samma upphängningspunkt

Hur hänger kulorna?

Förslag på resultat:
a) Kulorna hänger med samma vinkel
b) Kulan med det kortare snöret har större vinkel/handen får hållas närmare kroppen
c) Kulan med det längre snöret har större vinkel/handen får hållas närmare kroppen

 

Starta filmen så får du se hur det såg ut.

 

3. Lika stora massor men med olika pendellängd
Kulorna hålls så att de har samma upphängningspunkt

Schematisk bild på två kulor med loka stor massa men med olika pendellängd, kulorna lika stor radie

 

Hur hänger kulorna?

Förslag på resultat:
a) Kulorna hänger med samma vinkel
b) Den lättare kulan har mindre vinkel/roterar längre in
c) Den lättare kulan har större vinkel/roterar längre ut

 

Starta filmen så får du se hur det såg ut.


Härledning och förklaring:

För att ett föremål med massa m skall följa med i en cirkulär rörelse erfordras en centripetalkraft. Fc   Denna kraft är resultanten till samtliga krafter som verkar på föremålet.
 
     
 

 

vi använder detta uttryck för centripetalkraft:   (1)
       
med vanlig trigonometri inses:    
    Fc=mgtan(v) (2)
       
alltså:   (3)

 

i) Vi ser redan här att m kan förkortas bort:  Detta ger svaret på fråga 1

 

efter m förkortas får vi kvar:   (4)
       
eller om vi löser ut tan(v)   (5)

Hur tan(v) beror av vinkel v ses i nedanstående graf.
Detta är en strängt växande funktion.
(tan(v) är bara ritad för vinklar upp till 75 grader av grafiska skäl,
prova på räknaren hur det annars kan se ut.)

Tangens(vinkel) som funktion av vinkeln

Eftersom T (rotationstiden) kan anses vara konstant under ett varv så blir
tan(v) bara beroende av r.
Matematiskt så kan man säga att tan(v) är proportionell mot r.

ii) Alltså om avståndet från rotationsaxeln r är lika stort för kulorna så är tan(v) lika stor och därmed vinkeln lika stor. Detta ger svaret på fråga 2.

 

iii) Kulorna hade olika långa snören men samma upphängningspunkt.
Då kan inte kulan med det kortare snöret komma lika långt ut i rörelsen, så att avståndet till rotationsaxeln r blir mindre för denna. Blir r mindre så blir också tan(v) mindre och därmed också v mindre.
Kulan med det kortare snöret kommer att hänga mer rakt ner.
Detta ger svaret på fråga 3.

 

per.gunnarsson@karlstad.se